自然数的因数
2010-06-17 12:14:44| 分类：
数学趣题
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我们知道，每个自然数(不包括０和１)都有２个以上的因数，因数最少的是质数（也叫素数），质数的因数是１和它本身。非质数的自然数也叫合数，它们都含有３个以上（含３个）的因数。
1、怎样求一个数有多少个因数？
对于一个已知的自然数，要求出它有多少个因数，可用下列方法：
首先将这个已知数分解质因数，将此数化成几个质数幂的连乘形式，然后把这些质数的指数分别加一，再相乘，求出来的积就是我们要的结果。
例如：求360有多少个因数。
因为360分解质因数可表示为：360=2^3×3^2×5，２、３、５的指数分别是３、２、１，这样３６０的因数个数可这样计算出：
（３＋１）（２＋１）（１＋１）＝２４个。
我们知道，360的因数有 1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,18,20,24,30,36,40,45,60,72,90,120,180,360正好24个，可见上述计算正确。
2、怎样求出有n个因数的最小自然数？
同样拥有n个（n为确定的数）因数的自然数可以有多个不同的数，如何求出这些数中的最小数？
这是与上一个问题相反的要求，是上一题的逆运算。
比如求有２４个因数的最小数是多少？
根据上一问题解决过程的启示，可以这样做，先将２４分解因式，把２４表示成几个数连乘积的形式，再把这几个数各减去１，作为质数２、３、５、７......的指数，求出这些带指数的数连乘积，试算出最小数即可。具体做法是：
因为：24=4×6， 24=3×8， 24=4×3×2，
现在分别以这三种表示法试求出目标数x：
（１）、２４＝４×６，４－１＝３，６－１＝５
Ｘ＝2^5×3^3＝８６４
（２）、２４＝３×８，３－１＝２，８－１＝７
Ｘ＝2^7×3^2＝１１５２
（３）２４＝４×３×２，4-1=3, 3-1=2, 2-1=1
Ｘ＝2^3×3^2×5＝３６０
综合(1)、(2)、(3)可知３６０是有２４个因数的最小数。
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